拉姆齐理论以英国数学家和哲学家弗兰克·p·拉姆齐(Frank P. Ramsey)的名字命名，是数学的一个分支。它关注的问题是，某种结构必须有多大才能保证某种特定的性质成立。

比如说，考虑一个有n个顶点的完全图（complete graph），也就是说每个顶点都和其他所有顶点相连。如果我们将图中每一条边染成红色或者蓝色，那么当n等于多少时才能确保图中存在一个红色的三角形或者蓝色的三角形呢？答案是6。我们来证明一下。

假设一个有6个顶点的完全图的边分别是红色和蓝色。选择一个顶点v, v有5条边，所以至少有3条边必须是相同的颜色。

在不丧失一般性的前提下，我们可以假设连接v的5条边中，至少有3条边都是红色的（上图中的，vr，vt，vs）。如果任意一条边(rs) ，(rt) ，(st)也是红色的，那么我们就得到了一个完全红色的三角形。由于这个参数适用于任何颜色，任何K_6都包含一个单色K_3。

拉姆齐定理（Ramsey&39;s theorem）指出，对于任意一个足够大的完全图，无论怎样对其边进行涂色（使用不同颜色区分不同的边），其中一定会存在着色后的完全子图，使得该子图的所有边颜色相同。具体来说，对于两种颜色（如红色和蓝色），拉姆齐定理给出了一个最小正整数R(r, s)，只要完全图的顶点数大于等于该整数，那么在这个完全图的边中一定会存在一个由r条蓝色边组成的完全子图，或者存在一个由s条红色边组成的完全子图。

在上面的例子中R（3,3）=6。它表示，在一个有6个顶点的完全图中（共有15条边），所有的边要么是蓝色，要么是红色；那么这个完全图的边中一定会存在一个由3个蓝色边组成的完全子图，或者存在一个由3条红色边组成的完全子图。这里的R就是拉姆齐数。

最近的研究

在过去的一个世纪中，拉姆齐定理的研究者们一直在积极探索，在极端的情况下，数学结构是否仍然能够存在。他们研究的对象可能是整数、分数等数字集合，或者是网络中的节点连接关系。他们通过证明某些结构的必然存在性，即使在切割时采取巧妙的方式来避免它们的产生，这些结构仍然不可避免地出现。

拉姆齐理论研究者在谈论如何把一个数集分成几个部分时，通常使用着色的方法。例如，选取几种颜色：红色、蓝色和黄色。然后给集合中的每个数字分配一种颜色。即使你以随机的方式进行这种着色，只要你使用的不同颜色数量有限（即使是非常大的数量），一定会出现某些模式。拉姆齐理论研究者试图找到这些模式，寻找结构化的数字集合，这些数字集合是“单色的”，即它们的元素都被分配了相同的颜色。

19世纪末期出现了第一个着色结果。到1916年，伊萨伊·舒尔证明了无论如何给正整数着色，总会存在一对数字x和y，使得x、y和它们的和x+y都是相同的颜色。在整个20世纪，数学家们继续研究着色问题。1974年，尼尔·辛德曼将舒尔的结果扩展到包括整数的无限子集。和舒尔定理（Schur’s theorem）一样，无论如何给自然数着色（用有限数量的颜色），辛德曼定理的结论都成立。不仅是辛德曼集合中的这些整数都是相同的颜色，而且如果你将它们中的任何一组相加，结果也将是相同的颜色。这些集合类似于偶数，就像任何偶数的和总是偶数一样，任何在辛德曼集合中数字的总和也会在该集合中。

但是辛德曼认为还有更多的可能性。他认为可以找到一个任意大但有限的单色集合，其中不仅包含其成员之和，还包括它们的积。

辛德曼猜想（Hindman’s Conjecture）

如果放弃求和的条件，只是要求积是相同的颜色，那么可以通过使用指数运算将求和转换为求积，来简单地改进辛德曼定理。

然而，同时处理求和和求积却更加困难。沃里克大学的数学家乔尔·莫雷拉表示，

理解加法和乘法的关系，这在某种程度上是所有数论的基础。

即使是辛德曼在1970 年代最初提出的一个更简单的版本也有挑战性。他猜想对于任何一个自然数集的染色，必定包含一个形如{x, y, xy, x+y} 的单色集合，其中x和y是两个数，它们的和与积也属于这个集合。 几十年来，人们对这个问题没有真正取得任何进展，然后突然在 2010 年左右，人们开始证明越来越多的东西。

在2017年，华威大学的莫雷拉证明了总能找到一个包含三个期望元素的单色集合：x，xy和x + y。在2020年，麦吉尔大学的鲍文，证明了只用两种颜色时{x，y，xy，x+y}猜想的情况，这个结果是罗恩·格雷厄姆在1970年代借助计算机证明过的。

在这个背景下，鲍文和他的导师萨博克合作将结论推广到任意数量的颜色。但是他们很快陷入了技术细节的困境。当颜色的数量很大时，问题的复杂度完全失控。他们花了18个月试图解决问题，但运气不佳。在这一年半的时间里，他们大概做了一百万个错误的证明。

两位数学家遇到的一个特别的困难让他们无法进展。如果随机选择两个整数，你可能无法用整除运算得到一个整数结果。整除只有在第一个数是第二个数的倍数时才有效。在这一认识下，鲍文和萨博克转而试图证明在有理数中的{x, y, xy, x + y}猜想。在有理数中，数可以随意地相除。

2022年10月，鲍文和萨博克发布了一篇证明，即如果你用有限多种颜色给有理数染色，必然存在一个集合{ x，y，xy，x+y }，其所有元素都具有相同的颜色。

还有很多问题需要回答。是否可以添加第三个数字z到集合中，以及随之而来的和与积呢？如果要满足辛德曼最大胆的预测，则需要将第四个、第五个甚至任意多个新数字添加到序列中。这还需要从有理数转向自然数。

数学的魅力之一是，在你得到证明之前，一切都是可能的。