阿基米德多面体 阿基米德图片卡通
绘画和数学看起来像是两个风马牛不相及的领域，毕竟数学靠理性，绘画靠想象力，其实不然呀，数学和绘画还是有相通之处的，那就是两者都需要脑洞，数学家的脑洞大起来也有些可怕，什么三角形内角和大于180°了，两点之间线段最短了，这些都是数学家的脑洞，不过话说回来，数学家的脑洞还是要建立在严格的逻辑推理基础上的，要是一个画家去接触数学呢？那就会创造出一个奇异瑰丽的神奇世界。
这个画家就是埃舍尔。
数学家们很早就研究了平面镶嵌问题。平面镶嵌问题其实就是如何铺地板砖，我们脚下的地板砖的铺设都是用相同的图形完全覆盖地面，一般都是用正方形，其实用全等的任意四边形就可以了，用全等的任意三角形也可以，对于五边形和六边形来说，就不能是任意的了，得是特殊的，另外它们之间的组合也可以做到无死角无遗漏的完全铺满平面，经数学家证明，只有17种方式可以满足平面镶嵌。
譬如这样的。
还可以是这样的。
但不管怎么说，也只有17种方式，这是数学家证明了的，但是在埃舍尔的刻刀下，居然还可以有这样的。
和这样的。
注意到了吗？画中的空白也构成了鸟和鱼的形象，这样的画埃舍尔还有一大堆呢，比如这样的。
这样的。
对埃舍尔的脑洞叹为观止了吗？还不够，再看看这个。
先不说平面镶嵌的问题，先找一找图中有几张脸吧，这是埃舍尔的第一张平面镶嵌的话，图中一共有八张脸，这幅画的名字也叫做《八张脸》，后来的那么多的找一找图中有几个人几匹马都是学的埃舍尔。
可以叹为观止了吧，在平面镶嵌上确实可以了，不过埃舍尔怎么会只满足于一个简单的平面镶嵌呢，他又对曲线下手了。
说到螺线，最著名的应该是阿基米德螺线了，不过对螺线研究最深的还是雅各布.伯努利，他的墓碑上都刻着一幅对数螺线，但是画的最好看的还得是埃舍尔。
这就是埃舍尔的《漩涡》，看起来有点平平无奇吧，确实有点，这脑洞开的一般呀，不过看问题要看细节，我们放大看的话，就可以发现这都是鱼构成的，而且是从大到小的鱼，这意味着什么？这就是科克曲线呀。
科克曲线就是一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，这样如此一直重复下去，冬天的雪花就是一种科克曲线。
科克曲线就是自相似性，曼德勃罗把这个叫做分形。
分形几何对数学的贡献就是突破了人们对维度的认识。一般情况下我们认为直线是一维的，平面是二维的，空间则是三维的，这就是说维度都是自然数，而在分形几何中，维度就不是自然数了，就可能是小数了，比如科克曲线就是1.26维。
既然知道了分形这个概念，埃舍尔怎么可能撒手呢。
这是不是比曼德勃罗的分形还酷炫。
既然都知道了维数不是自然数了，那么从一维到二维是怎么过渡的，二维又是如何变道了三维呢？这个问题还得埃舍尔来回答。
在这幅《蜥蜴》中，二维的蜥蜴爬出了画面变成了三维，溜达了一圈以后又进入了画稿，从三维变成了二维。
还有这幅《魔镜》，也是二维和三维之间的变化。
再看看这一幅《天鹅》
这到底是几个意思？是平面镶嵌吗？还是二维到三维的转化？都是，那不就是个重复吗？当然不是，仔细看中间，黑天鹅和白天鹅交汇的地方，你能看出来是黑天鹅转化成白天鹅还是白天鹅转换成黑天鹅吗？这又是什么数学概念呀？
这是拓扑学。
拓扑学是个什么玩意呀？咱们用一句话就可以解释了，就是莫比乌斯带呀。
莫比乌斯带就是把一个带子交叉后两端粘结在一起，这个带子有很多奇异的特性，最奇异的就是走不到头，咱们想象一下一只小蚂蚁在莫比乌斯带上，这只悲催的小蚂蚁会发现它永远爬不到头，听起来有点不好理解，是吧？还是请埃舍尔画出来吧。
现在明白了吧。
既然玩开了，那就继续玩，再看看埃舍尔的《结》。
这还是拓扑学，其实就是剪开的莫比乌斯带，这就是莫比乌斯带的第二个特性，要是沿着带子剪一刀的话，莫比乌斯带不会变成两条，而是还是一条，不过是更复杂了。
都说到三维了，咱们就看看埃舍尔是如何对立体伸出魔掌的。
从欧拉定理就是顶点数-棱长数+表面数=2可以推导出，正多面体只有五种，分别是正四面体立方体正八面体正十二面体和正二十面体，正多面体就是每一个面都是相同的正多边形，比如正四面体的每一个面都是三角形，立方体每一个面都是正方形。
要是放宽点条件呢，就是每一个面可以不是相同的正多边形，那么就可以有十三种，这种多面体又叫阿基米德多面体。
可是对于埃舍尔来说，阿基米德就是个渣。
到现在为止，不管怎么埃舍尔挖空心思都还是在欧几里得几何的脚下徘徊，这怎么可能满足他的野心呢，除了欧几里得几何之外还有没有别的什么新奇东西吗？当然有了，那就是非欧几何。
非欧几何是由俄罗斯的罗巴切夫斯基还有高斯和他的学生黎曼共同创造的，其实高斯应该排在最前面，只是他有了这个想法没有偷偷地写在了笔记本里，并没有公布，反而让罗巴切夫斯基抢了先。
欧式几何认为过直线外一点只能有一条直线和这条直线平行，而非欧几何认为不是这样，罗巴切夫斯基认为过直线外一点可以有无数条直线和这条直线平行，黎曼几何认为过直线外一点没有直线和这条直线平行，神奇不？脑洞大不？
但是脑洞大也大不过埃舍尔，他把非欧几何给画出来了。
嗯？不对呀，没看出什么平行线呀，确实没有，不过非欧几何还有一个推论，就是三角形内角和不等于180°，四边形内角和也不等于360°，那咱们再仔细看看，这幅画中的三角形内角和是不是小于180°，所以说埃舍尔画的就是非欧几何。
非欧几何都出来了，相对论不出来是不是有点不合适了，毕竟相对论的数学基础就是非欧几何，埃舍尔还真画了一幅《相对论》。
感觉到什么了？迷茫？确实是的，因为在这幅画哄根本就分不出什么是上什么是下，据说彭罗斯受其感召，画出来了彭罗斯楼梯。
彭罗斯楼梯和莫比乌斯带一样是永远走不完的，而且是一直向上走，走着走着就回到了原点，这怎么可能呢？在现实中当然不可能，不过在梦中还是有可能的。
在电影《盗梦空间》中，就使用了彭罗斯楼梯来表现梦境的诡异。
彭罗斯没想到的是他不但启迪了电影，也惹了埃舍尔，埃舍尔本来就对数学概念感兴趣，现在彭罗斯送上门来他怎么舍得放过呢。
来看看这幅《瀑布》，谁来说说这瀑布是怎么从下面流到上面去的，这不就是永动机吗？
谁又来解释一下这个梯子是怎么从观景楼里面搭到外面去的？
这简直就是颠覆了物理学。
埃舍尔不但能颠覆物理学，还能颠覆数学。
第三次数学危机的起源就是罗素的理发师悖论，大意就是小镇上的理发师说他只为小镇上不给自己刮脸的人刮脸，那么这个理发师应该给自己刮脸吗？要是他给自己刮脸了，那么他就不是不给自己刮脸的人，那就不该给自己刮脸，要是他不给自己刮脸的话，那么他就是不给自己刮脸的人，他就该给自己刮脸，对于理发师来说这就陷入了两难境地。
埃舍尔又从这里得到了灵感，他画出了《手画手》。
那你说这两只手是谁在画谁呢？这是不是就是自我指谓？这是不是就是理发师悖论？
埃舍尔不仅对数学感兴趣，就是科幻的东西他也感兴趣。
《三体》中对小宇宙的描述是这样的：“他们决定先熟悉周围的环境再进入这些房子，于是继向前走，很快来到了这个小世界的边缘。现在，他们面对着前面的复制世界，最初，他们以为那是个映像，虽然无法解释它的方向，但走到一半时就否定了这个想法，因为那个复制世界太真切了，不像在镜子中。果然，他们向前迈一步就毫无阻碍地进入了复制世界，四下看看，程心的心中升起了一丝恐惧。
一切都恢复到他们刚进入时的状态:他们身处一个与刚才一模一样的田园中，前方、两侧都是这个田园的复制世界，在这些复制世界中，他们也存在。回头看看，在他们刚刚迈出的田园中，他们正在田园最远的一侧，也在回头看。”
这是个什么样的世界？书中关一帆做出了解释，这就是米什内尔空间。
“他（米什内尔）是公元世纪的一个物理学家，他是最早想象出这种东西的人。我们所在的世界其实很简单，是一个正立方体，边长我估计在一千米左右，你可以把它想象成一个房间，有四面墙，加上天花板和地板。但这房间的奇怪之处在于，它的天花板就是地板，在四面墙中，相对两面墙其实是一面墙，所以它实质上只有两面墙。如果你从一面墙前向对面的墙走去，当你走到对面的墙时，你立刻就回到了你出发时的那面墙前。天花板和地板也一样。所以，这是一个全封闭的世界，走到尽头就回到起点。至于我们周围看到的这些映像，也很简单，只是到达世界尽头的光又返回到起点的缘故。咱们现在还是在刚才的那个世界中，是从尽头返回起点，只有这一个世界，其他都是映像。”
看起来还是有点不好想象，那就把这个任务交给埃舍尔吧。
这就是埃舍尔的《异度空间》，也就是刘慈欣笔下的小宇宙，不过这么美好的东西居然交给了圣母程心来住，我想就是埃舍尔泉下有知也会感到有些难以忍受。