导数的几何意义 微分的几何意义简述

我们知道一元向量值函数的自变量是实数值，而因变量是一个n维向量。其中n＝3是一种典型情况，今天我们讨论这种。

一元向量值函数的定义：设数集D?R，则称映射f:D→R?为一元向量值函数，通常记为r=f(t)，t∈D，其中数集D称为函数的定义域，t称为自变量，r称为因变量。注：此处r和f(t)均为向量，手写时顶部应画箭头。为讨论方便，设向量值函数f(t)的三个分量函数依次为f?(t)，f?(t)，f?(t)。即f(t)=f?(t)i+f?(t)j+f?(t)k。

而对于向量值函数的导向量是这样定义的：设向量值函数r=f(t)在点t?的某一邻域内有定义，如果

存在，那么就称这个极限向量为向量值函数r=f(t)在t?处的导数或导向量，记作f&39;(t?)。

向量值函数f(t)在t?可导的充分必要条件是：f(t)的三个分量函数f?(t)，f?(t)，f?(t)都在t?可导。当f(t)可导时，其导数f&39;(t?)=f?&39;(t?)i+f?&39;(t?)j+f?&39;(t?)k

我们把随t变化的向量r(t)的起点取在坐标原点，终点随t的变化在变化，把终点的轨迹叫做向量值函数r=f(t)的终端曲线。

如果我们在坐标系中画出向量值函数r=f(t)的终端曲线，并画处t?和t?+Δt处对应的向量f(t)，发现当Δt趋于0时，Δr其实就是终端曲线在点(f?(t?)，f?(t?)，f?(t?))的一个切向量，只不过这个切向量是个零向量。但是如果把向量Δr除以Δt，它的方向和Δr的方向是一致的，而且在Δt趋于0时不是零向量了。而根据导向量的定义可知，在Δt趋于0时，Δr/Δt的极限值其实就是向量值函数r=f(t)在点t?处的导向量。所以导向量f&39;(t?)其实是终端曲线在点(f?(t?)，f?(t?)，f?(t?))处的一个切向量。

因此，如果一个空间曲线的参数方程为x=f?(t)，y=f?(t)，z=f?(t) ，那么这条曲线在点(f?(t?)，f?(t?)，f?(t?))处的切线方程为：

当然上面讨论的是导向量f&39;(t?)不为零向量的情况。

以上内容均为个人理解，如有错误，欢迎指正。