有家长问我：“女儿目前初二，数学非常差，可以用一窍不通来形容，当她问我算术平方根和平方根的差异，我给她解释一番后，问她9的平方根是多少，她回答：我想想时，我就知道没救了。”

这样类似的问题也许让不少家长头疼，每个人的学习能力不同，注定了会有接受的快慢之分，幸运的是勤能补拙，如果孩子接受能力慢，家长要学着接受孩子的不足，耐心的指导。今天老师就给大家说说初二年级的平方根与立方根知识点，家长觉得有用可以收藏。

定 义

　　一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。显然，如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。

　　如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。

　　规定：0的平方根是0。

　　负数在实数范围内不能开平方，只有在复数范围内，才可以开平方根。例如：-1的平方根为±1i，-9的平方根为±3i。

　　平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。

　　任何复数都有平方根。

　　算术平方根为：√a=a(a为非负数)。

　　被开方数是乘方运算里的幂。

　　求平方根可通过逆运算平方来求。

　　开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。

　　若x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，即±√a=±x(a为非负数)。

性质

　　与平方根的关系

　　正数的平方根有两个，它们为相反数，其中正数的平方根，就是这个数的算术平方根。

产生

　　根号(即算术平方根)的产生源于正方形的对角线长度“根号二”，这个“根号二”的发现一度引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。因为按当时的权 威解释(也就是毕达哥拉斯学派的学说)，万物皆数(也就是说世界上所有的事物都可以用数来表示)。

　　对于这个无理数“根号二”，最终人们选取了用根号来表示。

举例

　　9的平方根为±3;9的算术平方根为3，正数的平方根都是前面加±，算术平方根全部都是非负数(0也在内)。

辨析

　　算术平方根和平方根是大家学习实数接触最多的概念，两者密不可分。可对于初学者来说是对“孪生杀手”，很容易在解题过程中产生错误。算术平方根和平方根到底有哪些区别与联系呢？

区别　　

1、定义不同：

　　⑴绝大部分地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根(arithmeticsquareroot)；

　　⑵一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根(squareroot)。这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根。

　　2、表示方法不同：

　　⑴a的算术平方根记为读作“根号a”，a叫做被开方数(radicand)；

　　⑵a的平方根记为，读作“正负根号a”，其中a叫做被开方数。

　　3、个数不同：从形式上看，二者的符号主体相似，但是一个数的平方根要在其算术平方根的前面写上“±”。这也正好说明了一个正数和零的算术平方根有且只有一个，而一个正数却有两个互为相反数的平方根。零只有一个平方根。

联系　

1、前提条件相同：算术平方根和平方根存在的前提条件都是“只有非负数才有算术平方根和平方根”；

2、存在包容关系：平方根包含了算术平方根，因为一个正数的算术平方根只是其两个平方根中的一个；

3、0的算术平方根和平方根相同，都是0。

例题讲解：

例1、求下列各数的算术平方根：

(1)100;

(2)49;

(3)0.81 64

注意：由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，a≥0(当a<0时，a无意义)

用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义如有一个面积为a (a应是非负数)、边长为的正方形就表示a的算术平方根。

这里需要说明的是，算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号，如a≥0时，a表示对非负数a进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根。

立方根

(1)立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，这个数叫做a的立方根(也叫作三次方根)，即如果x?a，那么x叫作a的立方根

(2)一个数a的立方根，读作：“三次根号a”，其中a叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。

(3) 一个正数有一个正的立方根;0有一个立方根，是它本身; 一个负数有一个负的立方根; 任何数都有的立方根。

(4)利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数。

课后练习

1.9的算术平方根是( )

A.-3 B.3 C.3 D.81

2.下列计算不正确的是( )

A.=2 B.=9

C.=0.4 D.=-6

3.下列说法中不正确的是( )

A.9的算术平方根是3 B.的平方根是2

C.27的立方根是3 D.立方根等于-1的实数是-1

4.的平方根是( )

A.8 B.4 C.2 D.5

5.9的立方根是_______.

6.求下列各数的平方根

(1)100;(2)0;(3);(4)1;(5)1;(6)0.09.

答案:

1．B

2．A 点拨：=2．

3．C

4．C 点拨：=4，故4的平方根为±2．

5．81

6．7 6.403，12.6