奇函数乘以奇函数 奇函数除以奇函数是什么函数
一、函数奇偶性定义
对于函数定义域内一切x，如果f(一x)=f(x)，那么函数是偶函数。且偶函数的图象关于y轴对称；如果f(一x)=一f(×)，那么函数是奇函数。且奇函数的图象关于原点对称。
二、函数的奇偶性与单调性的关系
函数的奇偶性与单调性不同，单调性是函数的局部性质，奇偶性是函数的整体性质。单调性是比较区间D上f(x1)与f(X2)的大小，是函数的增减性质;而奇偶性是求f(一x)与f(X)、f(一X)的关系。
奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反。
三、关于函数奇偶性的结论
1、若函数的定义域关于原点对称，且①f(一x)=一f(X)，则称f(x)是奇函数;
②f(一x)=f(x)，则称f(x)是偶函数;
③f(一x)=一f(Ⅹ)且f(一x)=f(×)，称f(x)既是奇函数又是偶函数;
④f(一x)≠f(X)且f(一×)≠一f(×)，称f(x)是非奇非偶函数;
2、若函数的定义域不关于原点对称，则此函数是非奇非偶函数。
错点：研究函数的奇偶性而不考虑函数的定义域。如f(x)=X2(x∈(一1，1]，f(一x)=(一X)2=X2=f(x)，∴f(×)是偶函数。显然上式对x=1不成立。
题型一：判断函数的奇偶性
1.分段函数奇偶性判断
判断函数y=
X2一2X+5，Ⅹ>o
O，X=o
一X2一2X一5，X<0
的奇偶性。
解：由定义知，函数的定义域为R，关于原点对称。
当x>0时，一x<0，f(一x)=一(一×)2一2(一×)一5=一Ⅹ2+2X一5=一(x2一2×+5)=一f(×);
当X<0时，一×>0，f(一x)=(一×)2一2(一x)+5=X2+2X+5=一f(x);
当x=0时，一x=0，f(一0)=f(0)=0，
综上所述，函数是奇函数。
纠错：分段函数必须每段都讨论。并且奇偶性一致。当然前提是定义域关于原点对称。
2、含参数的函数的奇偶性的判断
例：判断函数f(X)=|x+a|一|X一a|(a∈R)的奇偶性。
解：函数的定义域为(一∞，+∞)，关于原点对称。
f(一x)=|一X+a丨一丨一X一a丨=丨X一a丨一丨X+a丨=一(|X+a|一丨X一a|)=一f(x)，∴f(x)是奇函数。
错点：上述解法似乎没有错误，但仔细分析还是发现了问题。
当a=0时，f(x)=0，f(一x)=f(x)=一f(X)=0，函数既是奇函数又是偶函数。
正确解法：1、看定义域;
2、当a≠0时，同上，函数为奇函数;
3、当a=0时，函数既是奇函数又是偶函数。
综上所述：当a=0时，函数既是奇函数又是偶函数；
当a≠0时，函数是奇函数。
题型二：利用奇偶性求函数的解析式
例：①已知f(X)是R上的偶函数，且当x<0时，f(×)=×(×一1)，求当X>0时，f(x)=
②若f(x)是R上的奇函数，当×>0时，f(X)=一2X2+3Ⅹ+1，求f(×)的解析式。
〔分析〕求什么就从什么开始，把所求问题转化为已知问题。
解①设x>0，则一x<0，f(一×)=一X(一Ⅹ一1)=X(X+1)，因为f(一×)=f(X)∴f(X)=X(x+1)。
②当x<0时，一x>0，f(一X)=一2(一×)2+3(一×)+1=一2X2一3X+1，又因为f(Ⅹ)是奇函数，故f(X)=一f(一x)，∴f(Ⅹ)=2X2+3x一1。
又f(x)是R上的奇函数，∴f(一0)=f(0)=0，
∴f(x)的解析式为f(X)=
一2X2+3X+1，(X>0)
0，(Ⅹ=0)
2X2+3X一1。
利用奇偶性求函数解析式纠错：
1、求哪个区间的解析式就设x在哪个区间;
2、所求区间乘以一1转化为已知区间，代入求解析式;
3、若是偶函数，则f(x)=f(一x)=…
若是奇函数，则f(x)=一f(一x))=…
题型三、奇偶性与单调性的密切联系
例：设f(x)是R上的偶函数，在区间(一∞，0)上递增，且有f(2a2+a+1)<f(3a2一2a+1)，求a的取值范围。
〔分析〕求解含有“f"的不等式，必须利用函数的单调性。因2a2+a+1=2(a+1/4)2+7/8>0，3a2一2a+1=3(a一1/3)^2+2/3>0，因f(X)是R上偶函数，且在(一∞，0)上递增，所以f(X)在(0，+∞)递减，所以利用单调性去掉f，变成普通不等式求解。
解：∵2a2+a+1=2(a+1/4)2+7/8>0
3a2一2a+1=3(a一1/3)2+2/3>0
又因f(X)是偶函数，在(一∞，0)上递增，当X>0时，一X<0，∴当0<X1<X2时，一X2<一X1<0，f(一X2)<f(一x1)，∴f(X2)<f(X1)。即f(X)在(0，+∞)上递减，
∴2a2+a+1>3a2一2a+1
解得0<a<3
即a的取值范围是{a丨0<a<3}。
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